湖北省黄冈市高一期末文理科数学试卷

时间：2026-03-25 23:08:02 小龙课堂学习

在考试快要到来的时候，学生需啊哟多做一些练习题和试卷，下面的小编将为大家带来湖北省的高一期末数学试卷，希望能够帮助到大家。

湖北省黄冈市高一期末理科数学试卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.下列结论正确的是()

A.若ab，则ac2bc2 B.若a2b2，则ab

C.若ab，c0，则ac

2.设数列an}是等差数列，若a2a4+a6=12，则a1a2+…+a7等于()

A.14 B.21 C.28 D.35

3.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()

A.若lm，mα，则lα B.若lα，lm，则mα

C.若lα，mα，则lm D.若lα，mα，则lm

4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为()

A.﹣ B. C.1 D.

5.已知等比数列an}中，a3=2，a4a6=16，则=()

A.2 B.4 C.8 D.16

6.从点(2，3)射出的光线沿斜率k=的方向射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()

A.x2y﹣4=0 B.2xy﹣1=0 C.x6y﹣16=0 D.6xy﹣8=0

7.若α，β为锐角，且满足cosα=，cos(αβ)=，则sinβ的值为()

A.﹣ B. C. D.

8.若动点A(x1，y2)、B(x2，y2)分别在直线l1：xy﹣11=0和l2：xy﹣1=0上移动，则AB中点M所在直线方程为()

A.x﹣y﹣6=0 B.xy+6=0 C.x﹣y6=0 D.xy﹣6=0

9.已知某几何体的三视图如图所示，其中，正(主)视图，侧(左)视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为()

A. B. C. D.

10.将正偶数集合2，4，6，…从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，则位于()组.

A.30 B.31 C.32 D.33

11.已知实数x，y满足，则ω=的取值范围是()

A.﹣1，] B.﹣，] C.﹣，1) D.﹣，)

12.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是()

A.t|} B.t|≤t≤2} C.t|2} D.t|2}

二、填空题(每小题5分，本题共20分)

13.若关于x的不等式ax2﹣6xa2<0的解集是(1，m)，则m= .

14.若，则tan2α= .

15.若ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于 .

16.已知不等式组表示的平面区域为D，则

(1)z=x2y2的最小值为 .

(2)若函数y=2x﹣1m的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是 .

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.在平面直角坐标系内，已知A(1，a)，B(﹣5，﹣3)，C(4，0);

(1)当a(，3)时，求直线AC的倾斜角α的取值范围;

(2)当a=2时，求ABC的BC边上的高AH所在直线方程l.

18.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， =，且ac=2.

(1)求角B;

(2)求边长b的最小值.

19.已知A(4，﹣3)，B(2，﹣1)和直线l：4x3y﹣2=0.

(1)求在直角坐标平面内满足PA|=|PB|的点P的方程;

(2)求在直角坐标平面内一点P满足PA|=|PB|且点P到直线l的距离为2的坐标.

20.如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形(尺寸如图所示)，E为VB的中点.

(1)求证：VD平面EAC;

(2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.

21.某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2= (注：利润与投资金额单位：万元).

(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域;

(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

22.已知曲线f(x)=(x0)上有一点列Pn(xn，yn)(nN*)，过点Pn在x轴上的射影是Qn(xn，0)，且x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(nN*)

(1)求数列xn}的通项公式;

(2)设四边形PnQnQn1Pn+1的面积是Sn，求Sn;

(3)在(2)条件下，求证： ++…+<4.

-学年湖北省黄冈市高一(下)期末数学试卷(理科)

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.下列结论正确的是()

A.若ab，则ac2bc2 B.若a2b2，则ab

C.若ab，c0，则ac

【考点】71：不等关系与不等式.

【分析】对于A，B举反例即可，对于C，D根据不等式的性质可判断

【解答】解：对于A：当c=0时，不成立，

对于B：当a=﹣2，b=1时，则不成立，

对于C：根据不等式的基本性质可得若ab，c0，则ac>b+c，故C不成立，

对于D：若<，则ab，成立，

故选：D

2.设数列an}是等差数列，若a2a4+a6=12，则a1a2+…+a7等于()

A.14 B.21 C.28 D.35

【考点】85：等差数列的前n项和.

【分析】利用等差数列的通项公式性质及其求和公式即可得出.

【解答】解：数列an}是等差数列，a2a4+a6=12，

3a4=12，解得a4=4.

则a1a2+…+a7=7a4=28.

故选：C.

3.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()

A.若lm，mα，则lα B.若lα，lm，则mα

C.若lα，mα，则lm D.若lα，mα，则lm

【考点】LS：直线与平面平行的判定.

【分析】根据题意，依次分析选项：A，根据线面垂直的判定定理判断.C：根据线面平行的判定定理判断.D：由线线的位置关系判断.B：由线面垂直的性质定理判断;综合可得答案.

【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确;

C：lα，mα，则lm或两线异面，故不正确.

D：平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确.

B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面.故正确.

故选B

4.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a=2b，则的值为()

A.﹣ B. C.1 D.

【考点】HR：余弦定理;HP：正弦定理.

【分析】根据正弦定理，将条件进行化简即可得到结论.

【解答】解：3a=2b，b=，

根据正弦定理可得===，

故选：D.

5.已知等比数列an}中，a3=2，a4a6=16，则=()

A.2 B.4 C.8 D.16

【考点】8G：等比数列的性质.

【分析】设等比数列an}的公比为q，由于a3=2，a4a6=16，可得=2， =16，解得q2.可得=q4.

【解答】解：设等比数列an}的公比为q，a3=2，a4a6=16， =2， =16，

解得q2=2.

则==q4=4.

故选：B.

6.从点(2，3)射出的光线沿斜率k=的方向射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()

A.x2y﹣4=0 B.2xy﹣1=0 C.x6y﹣16=0 D.6xy﹣8=0

【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程.

【分析】用点斜式求出入射光线方程，求出入射光线与反射轴y轴交点的坐标，再利用(2，3)关于y轴对称点(﹣2，3)，在反射光线上，点斜式求出反射光线所在直线方程，并化为一般式.

【解答】解：由题意得，射出的光线方程为y﹣3=(x﹣2)，即x﹣2y4=0，与y轴交点为(0，2)，

又(2，3)关于y轴对称点为(﹣2，3)，

反射光线所在直线过(0，2)，(﹣2，3)，

故方程为y﹣2=(x﹣0)，即 x2y﹣4=0.

故选：A.

7.若α，β为锐角，且满足cosα=，cos(αβ)=，则sinβ的值为()

A.﹣ B. C. D.

【考点】GQ：两角和与差的正弦函数.

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin(αβ)的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ=sin(αβ)﹣α的值.

【解答】解：α，β为锐角，且满足cosα=，cos(αβ)=，

sinα=，sin(αβ)=，

sinβ=sin[(αβ)﹣α=sin(αβ)cosα﹣cos(αβ)sinα=﹣=，

故选：B

8.若动点A(x1，y2)、B(x2，y2)分别在直线l1：xy﹣11=0和l2：xy﹣1=0上移动，则AB中点M所在直线方程为()

A.x﹣y﹣6=0 B.xy+6=0 C.x﹣y6=0 D.xy﹣6=0

【考点】J3：轨迹方程.

【分析】根据题意可推断出M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l进而根据两直线方程求得M的轨迹方程.

【解答】解：由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1、l2且到l1、l2距离相等的直线l，故其方程为xy﹣6=0，

故选：D.

A. B. C. D.

【考点】L!：由三视图求面积、体积.

【分析】先由三视图还原成原来的几何体，再根据三视图中的长度关系，找到几何体中的长度关系，进而可以求几何体的体积.

【解答】解：由三视图可得该几何体的上部分是一个三棱锥，下部分是半球，

所以根据三视图中的数据可得：

V=××

=，

故选C.

10.将正偶数集合2，4，6，…从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，…，则位于()组.

A.30 B.31 C.32 D.33

【考点】F1：归纳推理.

【分析】根据题意可分析第一组、第二组、第三组、…中的数的个数及最后的数，从中寻找规律即可使问题得到解决.

【解答】解：第一组有2=12个数，最后一个数为4;

第二组有4=22个数，最后一个数为12即2(24);

第三组有6=23个数，最后一个数为24，即2(24+6);

…

第n组有2n个数，其中最后一个数为2(24+…+2n)=4(12+3+…+n)=2n(n1).

当n=31时，第31组的最后一个数为231×32=1984，

当n=32时，第32组的最后一个数为232×33=2112，

位于第32组.

故选：C

11.已知实数x，y满足，则ω=的取值范围是()

A.﹣1，] B.﹣，] C.﹣，1) D.﹣，)

【考点】7C：简单线性规划.

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线的斜率公式，结合数形结合进行求解即可.

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，

ω的几何意义是区域内的点到定点D(﹣1，1)的斜率，

由图象知当直线和BC：x﹣y=0平行时，直线斜率最大，此时直线斜率为1，但取不到，

当直线过A(1，0)时，直线斜率最小，

此时AD的斜率k==，

则ω的范围是﹣，1)，

故选：C

12.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值t构成的集合是()

A.t|} B.t|≤t≤2} C.t|2} D.t|2}

【考点】MI：直线与平面所成的角.

【分析】设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点.分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，可证出平面A1MN平面D1AE，从而得到A1F是平面A1MN内的直线.由此将点F在线段MN上运动并加以观察，即可得到A1F与平面BCC1B1所成角取最大值、最小值的位置，由此不难得到A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围.

【解答】解：设平面AD1E与直线BC交于点G，连接AG、EG，则G为BC的中点

分别取B1B、B1C1的中点M、N，连接AM、MN、AN，则

A1M∥D1E，A1M平面D1AE，D1E平面D1AE，

A1M∥平面D1AE.同理可得MN平面D1AE，

A1M、MN是平面A1MN内的相交直线

平面A1MN平面D1AE，

由此结合A1F平面D1AE，可得直线A1F平面A1MN，即点F是线段MN上上的动点.

设直线A1F与平面BCC1B1所成角为θ

运动点F并加以观察，可得

当F与M(或N)重合时，A1F与平面BCC1B1所成角等于A1MB1，此时所成角θ达到最小值，满足tanθ==2;

当F与MN中点重合时，A1F与平面BCC1B1所成角达到最大值，满足tanθ==2

A1F与平面BCC1B1所成角的正切取值范围为2，2]

故选：D

二、填空题(每小题5分，本题共20分)

13.若关于x的不等式ax2﹣6xa2<0的解集是(1，m)，则m=2.

【考点】74：一元二次不等式的解法.

【分析】由二次不等式的解集形式，判断出 1，m是相应方程的两个根，利用韦达定理求出m的值.

【解答】解：ax2﹣6xa2<0的解集是 (1，m)，

a>0，

1，m是相应方程ax2﹣6xa2=0的两根，

解得 m=2;

故答案为：2.

14.若，则tan2α=.

【考点】GU：二倍角的正切.

【分析】由条件可得tanα的值，再利用二倍角的正切公式，即可求得结论.

【解答】解：，

2(sinαcosα)=sinα﹣cosα

sinα=﹣3cosα

tanα=﹣3

tan2α===

故答案为：

15.若ABC的面积为，BC=2，C=60°，则边AB的长度等于2.

【考点】HP：正弦定理.

【分析】利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积，a，sinC的值代入求出b的值，再利用余弦定理求出c的值即可.

【解答】解：ABC的面积为，BC=a=2，C=60°，

absinC=，即b=2，

由余弦定理得：c2=a2b2﹣2abcosC=44﹣4=4，

则AB=c=2，

故答案为：2

16.已知不等式组表示的平面区域为D，则

(1)z=x2y2的最小值为.

(2)若函数y=2x﹣1m的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是.

【考点】7C：简单线性规划.

【分析】由题意作平面区域，(1)利用目标函数的几何意义，求解z=x2y2的最小值;

(2)利用图形，求出图形中A，B，C坐标;化简y=2x﹣1m，从而确定最值.

【解答】解：由题意作不等式组平面区域如图：

(1)z=x2y2的最小值为图形中OP的距离的平方;

可得： =.

(2)

结合图象可知，，可得B(，)，解得A(2，﹣1).当x时，

y=1m﹣2x，解得C(，)

x(，2时，y=2x﹣1m，m的范围在A，B，C之间取得，y=2x﹣1m，

经过A时，可得3m=﹣1，即m=﹣4，m有最小值为﹣4;

经过C可得，可得m=，即最大值为：;

经过B可得1﹣+m=，m=.

函数y=2x﹣1m的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围：.

故答案为：，.

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.在平面直角坐标系内，已知A(1，a)，B(﹣5，﹣3)，C(4，0);

(1)当a(，3)时，求直线AC的倾斜角α的取值范围;

(2)当a=2时，求ABC的BC边上的高AH所在直线方程l.

【考点】IG：直线的一般式方程.

【分析】(1)求出AC的斜率，根据a的范围，求出AC的斜率的范围，从而求出倾斜角的范围即可;

(2)求出BC的斜率，根据垂直关系求出AH的斜率，代入点斜式方程即可求出l.

【解答】解：(1)KAC==﹣，

a(，3)，则KAC(﹣1，﹣)，

k=tanα，又α∈[0，π，

α∈(，);

(2)KBC==，

AH为高，AH⊥BC，

KAH•KBC=﹣1，

KAH=﹣3;

又l过点A(1，2)，

l：y﹣2=﹣3(x﹣1)，

即3xy﹣5=0.

18.在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， =，且ac=2.

(1)求角B;

(2)求边长b的最小值.

【考点】HS：余弦定理的应用;HP：正弦定理.

【分析】(1)利用正弦定理化简表达式，求角B;个两角和与差的三角函数化简求解即可.

(2)利用余弦定理求边长b的最小值.推出b的表达式，利用基本不等式求解即可.

【解答】解：(1)在ABC中，由已知，

即cosCsinB=(2sinA﹣sinC)cosB，

sin(BC)=2sinAcosB，sinA=2sinAcosB，…4分

ABC 中，sinA0，

故. …6分.

(2)ac=2，

由(1)，因此b2=a2c2﹣2accosB=a2c2﹣ac …9分

由已知b2=(ac)2﹣3ac=4﹣3ac …10分

…11分

故b 的最小值为1.…12分

19.已知A(4，﹣3)，B(2，﹣1)和直线l：4x3y﹣2=0.

(1)求在直角坐标平面内满足PA|=|PB|的点P的方程;

(2)求在直角坐标平面内一点P满足PA|=|PB|且点P到直线l的距离为2的坐标.

【考点】IT：点到直线的距离公式.

【分析】(1)A(4，﹣3)，B(2，﹣1)，可得线段AB的中点M的坐标为(3，﹣2)，又kAB=﹣1，即可得出线段AB的垂直平分线方程.

(2)设点P的坐标为(a，b)，由于点P(a，b)在上述直线上，可得a﹣b﹣5=0.又点P(a，b)到直线l：4x3y﹣2=0的距离为2，可得=2，联立解出即可得出.

【解答】解：(1)A(4，﹣3)，B(2，﹣1)，

线段AB的中点M的坐标为(3，﹣2)，又kAB=﹣1，

线段AB的垂直平分线方程为y2=x﹣3，

即点P的方程x﹣y﹣5=0.…

(2)设点P的坐标为(a，b)，

点P(a，b)在上述直线上，a﹣b﹣5=0.

又点P(a，b)到直线l：4x3y﹣2=0的距离为2，

=2，即4a3b﹣2=10，…

联立可得或

所求点P的坐标为(1，﹣4)或.…

20.如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形(尺寸如图所示)，E为VB的中点.

(1)求证：VD平面EAC;

(2)求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.

【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角;LS：直线与平面平行的判定.

【分析】(1)欲证VD平面EAC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证VD与平面EAC内一直线平行即可，而连接BD交AC于O点，连接EO，由已知易得VDEO，VD平面EAC，EO平面EAC，满足定理条件;

(2)设AB的中点为P，则VP平面ABCD，建立坐标系，利用向量的夹角公式，可求二面角A﹣VB﹣D的余弦值.

【解答】(1)证明：由正视图可知：平面VAB平面ABCD

连接BD交AC于O点，连接EO，由已知得BO=OD，VE=EB

VD∥EO

又VD平面EAC，EO平面EAC

VD∥平面EAC;

(2)设AB的中点为P，则VP平面ABCD，建立如图所示的坐标系，

则=(0，1，0)

设平面VBD的法向量为

∴由，可得，可取=(，，1)

二面角A﹣VB﹣D的余弦值cosθ==

(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总和表示为x的函数，并写出定义域;

(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

【考点】5D：函数模型的选择与应用.

【分析】(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的100﹣x(万元)资金投入B产品，根据A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y1=18﹣，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2=，可得利润总和;

(2)f(x)=40﹣﹣，x0，100，由基本不等式，可得结论.

【解答】解：(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的100﹣x(万元)资金投入B产品，

利润总和f(x)=18﹣+=38﹣﹣(x0，100).…

(2)f(x)=40﹣﹣，x0，100，

由基本不等式得：f(x)40﹣2=28，取等号，当且仅当=时，即x=20.…

答：分别用20万元和80万元资金投资A、B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元.…

22.已知曲线f(x)=(x0)上有一点列Pn(xn，yn)(nN*)，过点Pn在x轴上的射影是Qn(xn，0)，且x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2.(nN*)

(1)求数列xn}的通项公式;

(2)设四边形PnQnQn1Pn+1的面积是Sn，求Sn;

(3)在(2)条件下，求证： ++…+<4.

【考点】8I：数列与函数的综合;8K：数列与不等式的综合.

【分析】(1)求出n=1时，x1=1;n2时，将n换为n﹣1，两式相减，即可得到所求通项公式;

(2)运用点满足函数式，代入化简，求出梯形的底和高，由梯形的面积公式，化简可得;

(3)求得：，运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得证.

【解答】解：(1)n=1时，x1=22﹣1﹣2=1，

n2时，x1x2+x3+…+xn﹣1=2n﹣(n﹣1)﹣2，

又x1x2+x3+…+xn=2n+1﹣n﹣2，

②﹣得：xn=2n﹣1(n=1仍成立)

故xn=2n﹣1;

(2)，

，又，，

故四边形PnQnQn1Pn+1的面积为：;

(3)证明：，

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p副标题e

湖北省黄冈市高一期末文科数学试卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)

1. 已知复数，若是纯虚数，则实数等于()

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】是纯虚数，则且.....................

解得,选B

2. 已知集合A={-1， }，B={x|mx-1=0}，若A∩B=B，则所有实数m组成的集合是()

A. {-1,2} B. {-，0,1} C. {-1,0,2} D. {-1,0， }

【答案】C

【解析】(1)，则

(2)，则，解得

综上，选C

点睛：(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.

(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.

(3)防范空集.在解决有关等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑是否成立，以防漏解.

3. 用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是()

A. 假设都是偶数 B. 假设都不是偶数

C. 假设至多有一个是偶数 D. 假设至多有两个是偶数

【答案】B

【解析】“若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数”的反证假设是“假设都不是偶数” 选B

4. 设，则( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】，，选B

5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是( )

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

【答案】C

【解析】(1)K=0,S=100,不成立

(2)K=1,S=99,不成立

(3)K=2,S=97,不成立

(4)K=3,S=93,不成立

(5)K=4,S=85,不成立

(6)K=5,S=69,不成立

(7)K=6,S=37,不成立

(8)K=7,S=-27,成立选C

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

6. 函数单调递增区间是( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

x - 0 +

则单调增区间为选C

7. 函数的零点所在的大致区间是 ( )

A. (0，1) B. (1，2) C. (2，3) D. (3，4)

【答案】B

【解析】试题分析：，所以函数零点在区间(1，2)内

考点：函数零点存在性定理

8. 观察式子：，…，则可归纳出式子为( )

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】右边分子，则分子为，而分母为，则

选A

9. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()

A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D. 某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【答案】D

【解析】试题分析：对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错;对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错;对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错;对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故选D.

考点：1、数学建模能力;2、阅读能力及化归思想.

10. 函数f(x)=lnx-x2的图象大致是 ( )

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】定义域为，舍去

取极大值

选B

11. 若不等式x2﹣ax+a>0在(1，+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是()

A. [0，4] B. [4，+∞) C. (﹣∞，4) D. (﹣∞，4]

【答案】C

【解析】不等式x2﹣ax+a>0在(1，+∞)上恒成立，则

原题转为恒成立，即

设

则为在(1，+∞)上最小值，

则选C

12. 函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由可知是周期为2的偶函数

由当时，和偶函数知当时，

令，则问题转化为在区间有四个交点

由下图得图象在直线AB与AC之间时有四个交点

直线AB 斜率，直线AC斜率，故选A

点睛：

对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值;从图象的对称性，分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等.

填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。)

13. 若a10=，am=，则m=______.

【答案】5

【解析】

14. 某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温(如表)，并求得线性回归方程为=-2x+60.不小心丢失表中数据c，d，那么由现有数据知2c+d=______.

x c 13 10 -1 y 24 34 38 d

【答案】100

【解析】

点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.

15. 若函数在区间恰有一个极值点，则实数的取值范围为___

【答案】[1,5)

【解析】试题分析：由题意，，则，解得.

考点：函数在某点取得极值的条件.

点评：考查利用导数研究函数的极值问题，体现了数形结合和转化的思想方法.

16. 已知函数，则函数的所有零点之和是___________.

【答案】

【解析】试题分析：由可得或,所以由可得或.当时可得或,解之得;当时可得或,解之得,故所有零点之和为,应填.

考点：复合函数的零点和计算.

【易错点晴】函数的图像和性质是高中数学中的重要知识点之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.函数的零点问题一直是高中数学教与学的难点内容.本题以分段函数为背景,重点考查的是函数的零点的概念及解指数方程、分式方程、二次方程等有关知识和方法.求解时,充分借助分段函数的对应关系和条件分类求解,并进行合理取舍,从而问题简捷巧妙地获解.

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

17. 命题关于的不等式的解集为;命题函数是增函数，若为真，求实数的取值范围.

【答案】

【解析】试题分析：分别求出命题P,Q为真时实数的取值范围，再根据为真得P假Q真，解不等式组得实数的取值范围.

试题解析：解：或;

或，

若为真，则真且真，∴

18. 已知函数h(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数，且为奇函数.

(I)求m的值;

(II)求函数g(x)=h(x)+，x∈的值域.

【答案】(1)m=0(2)

【解析】试题分析：(1)根据幂函数定义得m2-5m+1=1，解得m=0或5，再根据幂函数为奇函数得m=0(2)换元将函数化为一元二次函数，结合自变量取值范围与定义区间位置关系确定函数最值，得函数值域

试题解析：解：(1)∵函数h(x)=(m2-5m+1)xm+1为幂函数，∴m2-5m+1=1，.

解得m=0或5

又h(x)为奇函数，∴m=0

(2)由(1)可知g(x)=x+，x∈，

令=t，则x=-t2+，t∈[0,1]，

∴f(t)=-t2+t+=- (t-1)2+1∈，故g(x)=h(x)+，x∈的值域为.

19. 某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为.

优秀非优秀合计甲班 10 乙班 30 合计 110

(I)请完成上面的列联表;

(II)根据列联表的数据,若按99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;

(III)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人;把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到9号或10号的概率.

【答案】(1)见解析(2)不能认为(3)

【解析】试题分析：

思路分析：此类问题(1)(2)直接套用公式，经过计算“卡方”，与数表对比，作出结论。(3)是典型的古典概型概率的计算问题，确定两个“事件”数，确定其比值。

解：(1) 4分

优秀非优秀合计甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计 30 80 110

(2)根据列联表中的数据，得到K2= ≈7.487<10.828.因此按99.9%的

可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 8分

(3)设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y).所有的基本事件有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、…、(6，6)共36个.事件A包含的基本事件有：(3，6)、(4，5)、(5，4)、(6，3)、(5，5)、(4，6)(6，4)共7个.所以P(A)=，即抽到9号或10号的概率为. 12分

考点：“卡方检验”，古典概型概率的计算。

点评：中档题，独立性检验问题，主要是通过计算“卡方”，对比数表，得出结论。古典概型概率的计算中，常用“树图法”或“坐标法”确定事件数，以防重复或遗漏。

20. 某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：

求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻.

【答案】上午8点

【解析】试题分析：分别求三段对应函数最大值，最后取三个最大值的最大值.三段分别对应三次函数、一次函数、二次函数，对应求最值方法为导数法，单调性法以及对称轴与定义区间位置关系数形结合法.

试题解析：解：①当6≤t<9时，

y′=-t2-t+36=- (t+12)(t-8).

令y′=0，得t=-12(舍去)或t=8.

当6≤t<8时，y′>0，当8

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