2014泉州市中考数学试卷及答案(4)
26.(14分)(2014•泉州)如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P(2，1).
(1)求该反比例函数的关系式;
(2)设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′;
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值;
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC= .
考点： 反比例函数综合题;待定系数法求反比例函数解析式;勾股定理;矩形的判定与性质;垂径定理;直线与圆的位置关系;锐角三角函数的定义
专题： 压轴题;探究型.
分析： (1)设反比例函数的关系式y= ，然后把点P的坐标(2，1)代入即可.
(2)①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长;过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值.
②由于BC=2，sin∠BMC= ，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点.然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标.
解答： 解：(1)设反比例函数的关系式y= .
∵点P(2，1)在反比例函数y= 的图象上，
∴k=2×1=2.
∴反比例函数的关系式y= .
(2)①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示.
当x=0时，y=0+3=3，
则点B的坐标为(0，3).OB=3.
当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，
则点A的坐标为(3，0)，OA=3.
∵点A关于y轴的对称点为A′，
∴OA′=OA=3.
∵PC⊥y轴，点P(2，1)，
∴OC=1，PC=2.
∴BC=2.
∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，
∴A′B=3 ，A′C= .
∴△A′BC的周长为3 + +2.
∵S△ABC= BC•A′O= A′B•CD，
∴BC•A′O=A′B•CD.
∴2×3=3 ×CD.
∴CD= .
∵CD⊥A′B，
∴sin∠BA′C=
=
= .
∴△A′BC的周长为3 + +2，sin∠BA′C的值为 .
②当1
作经过点B、C且半径为m的⊙E，
连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，
过点E作EG⊥OB，垂足为G，
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示.
∵CP是⊙E的直径，
∴∠PBC=90°.
∴sin∠BPC= = = .
∵sin∠BMC= ，
∴∠BMC=∠BPC.
∴点M在⊙E上.
∵点M在 x轴上
∴点M是⊙E与x轴的交点.
∵EG⊥BC，
∴BG=GC=1.
∴OG=2.
∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，
∴四边形OGEH是矩形.
∴EH=OG=2，EG=OH.
∵1
∴EH>EC.
∴⊙E与x轴相离.
∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC= .
②当m=2时，EH=EC.
∴⊙E与x轴相切.
Ⅰ.切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示.
∴点M与点H重合.
∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，
∴EG=
= .
∴OM=OH=EG= .
∴点M的坐标为( ，0).
Ⅱ.切点在x轴的负半轴上时，
同理可得：点M的坐标为(﹣ ，0).
③当m>2时，EH
∴⊙E与x轴相交.
Ⅰ.交点在x轴的正半轴上时，
设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示.
∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，
∴MH=
=
= .
∵EH⊥MM′，
∴MH=M′H.
∴M′H═ .
∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，
∴EG=
=
= .
∴OH=EG= .
∴OM=OH﹣MH= ﹣ ，
∴OM′=OH+HM′= + ，
∴M( ﹣ ，0)、M′( + ，0).
Ⅱ.交点在x轴的负半轴上时，
同理可得：M(﹣ + ，0)、M′(﹣ ﹣ ，0).
综上所述：当1
当m=2时，满足要求的点M的坐标为( ，0)和(﹣ ，0);
当m>2时，满足要求的点M的坐标为( ﹣ ，0)、( + ，0)、(﹣ + ，0)、(﹣ ﹣ ，0).
点评： 本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大.由BC=2，sin∠BMC= 联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键.
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