高三数学理科第一学期期中试题
要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路，今天小编就给大家分享一下高三数学，喜欢的来阅读哦
高三数学理科第一学期期中试题【篇1】
一、单选题
1. ，则 用区间可表示为
A. B. C. D.
2.已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为
A. B. C. D.
3.等差数列{an}中，a1+a5=14，a4=10，则数列{an}的公差为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.若 ，且为第二象限角，则
A. B. C. D.
5.在正项等比数列{an}中，若a1=2，a3=8,数列{an}的前n项和为 ，则S6的值为
A. 62 B. 64 C. 126 D. 128
6.函数 的零点个数为
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
7.设可导函数 在R上图像连续且存在唯一极值，若在x=2处，f(x)存在极大值，则下列判断正确的是
A. .
B. .
C. .
D. .
8.
A. B. C. D.
9.函数 的最小正周期为
A. B. C. D.
10.在 中， ( )
A. B. C. D.
11.设偶函数 满足 ，且当 时， ，则 在 上的单调性为
A.递增 B.递减 C.先增后减 D.先减后增
12. 恒成立，则下列各式恒成立的是
A. B.
C. D.
二、填空题
13.已知向量 ，则 的夹角余弦值为________.
14.在△ABC中，若 ，则 =______.
15.若f(x)= x3-f′(1)x2+x+ ，则在(1，f(1))处曲线 的切线方程是______
16. ：
;
.
其中真命题的序号为 ___
三、解答题
17.已知等差数列 满足 。
(1)求通项 ;
(2)设 是首项为2，公比为2的等比数列，求数列 通项公式及前n项和 .
18.
(1)求 的表达式;
(2)将f(x)的图象向右平移 个单位后得到y=g(x)的图象，求 在 上的值域.
19.设数列 的前项和为 ，满足 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 .求数列 前项和 .
20.设函数 .
(1)求函数 的极小值;
(2)若关于 的方程 在区间 上有唯一实数解，求实数 的取值范围.
21.在 中，角 的对边的边长为 ，且 。
(1)求 的大小;
(2)若 ，且 ，求边长 的值。
22.已知函数f(x)=lnx﹣ax，其中a为实数.
(1)求出f(x)的单调区间;
(2)在a<1时，是否存在m>1，使得对任意的x∈(1，m),恒有f(x)+a>0，并说明理由.
高三上学期期中考试数学(理)试卷
数学答案
参考答案
1.C
【解析】
【分析】
先化简集合A和B，再根据交集运算的定义求解。
【详解】
集合 = ， =
所以 ，答案选C。
【点睛】
在进行集合运算时，当集合没有化简，要先化简集合;当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算;当集合为无限集时，可借助数轴进行运算。集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，属于A且属于B;并集元素勿遗漏，切记重复仅取一;全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集。
2.B
【解析】∵向量 ， ，由 ，得 ，解得： ，故选B.
3.C
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质，a1+a5=14可化为 ，可求 ，再运用公差计算公式 即可求出结果。
【详解】
因为{an}为等差数列，
所以 = =
而a4=10，
所以 ，
所以公差 =3。答案选C。
【点睛】
本题考查了等差数列的性质及公差计算公式，属于基础题。
4.A
【解析】
【分析】
先由诱导公式得 ，再求出 ，最后根据定义求 。
【详解】
因为 ，
所以 ，
又因为 为第二象限角，所以 ，
所以 = 。答案选A
【点睛】
本题考查了诱导公式，同解三角函数关系及三角函数在各象限内的符号等知识点，都属于基本知识，比较容易，但在求三角函数的值时，较容易出现符号错误，需要注意。
5.C
【解析】
【分析】
根据a1=2，a3=8先求出公比为2，再代入{an}的前n项和公式计算即可。
【详解】
因为{an}是正项等比数列，所以 ，即 ，
所以{an}的前6项和为 为 = =126，答案选C
【点睛】
本题考查了等比数的公比计算公式及前n项和公式，属于基础题。
6.C
【解析】
【分析】
函数 的零点个数问题等价于方程 解的个数问题，考查函数 和函数 的图像交点个数，即可。
【详解】
作出函数 和函数 的图像如下：
由图像可知，函数 和函数 的图像有两个交点，即方程 有2个解，
所以函数 的零点有2个，答案选C。
【点睛】
本题考查了函数与方程的关系，涉及函数数零点的问题可化为方程根的个数问题讨论，而方程解的个数问题又可化为函数的零点问题进行讨论，而数形结合是解决这类问题最主要的方法。
7.A
【解析】
【分析】
根据函数极值的判定方法，极大值点左侧导函数值为正，右侧为负，即可判断。
【详解】
由题意知，x=2为导函数 的极大值点，
所以，当 时， ;当 时， 。故答案选A。
【点睛】
本题考查函数极值的判定方法，属于基础题。
8.B
【解析】
【分析】
首先判断 为定义域 上的偶函数，再讨论当 和 时的单调性，最后将不等式 化为 ，即 ，求解即可。
【详解】
易知 为定义域 上的偶函数，
当 时， ，
因为 和 均为减函数，所以 在 时为减函数。
根据偶函数的性质可得， 在 时为增函数。
所以不等式 等价于 或
解得 。答案选B。
【点睛】
本题主要考查了利用函数的单调性和奇偶性求解不等式问题，其中根据函数的解析式得到函数的定义域和单调性、奇偶性转化不等式是解题关键，着重考查了转化能力以及推理计算能力，综合性较强，属于中档题。
9.D
【解析】
【分析】
利用二倍角公式把函数 化为 ，再运用辅助角公式把函数化为 ，最后求最小正周期
【详解】
=
= ，
所以最小正周期 。答案选D。
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换，三角函数的最小正周期的求法，此类问题通常要先对所给函数式进行恒等变换，最终化为 的形式，再利用正弦函数的性质进行求单调区间，最值或值域，对称轴或对称中心，周期则要用公式 计算。
10.A
【解析】
【详解】
在 中，
所以
= =
= =27。
所以 ，答案选A。
11.D
【解析】
【分析】
由函数 满足 ，可得函数 的周期为4，且为偶函数，另外，当 时， 是增函数，可推测 在 上单调减，运用周期性即可推断在 上的单调性。
【详解】
因为 满足 ，
所以函数 的周期为4。
又当 时， ，
所以 ，且当 时，有 ，所以 在 上单调增。
另外，因为函数 是R上的偶函数，
所以 在 上单调减，
所以 在 上先减后增;
所以 在 上的单调性为先减后增。答案选D。
【点睛】
本题主要考查函数的单调性的判断，根据函数的奇偶性，周期性和单调性的关系是解决问题的关键。本题是一道综合性较强的中档题。
12.B
【解析】
【分析】
构造函数 ，求出 ，得到该函数为R上的增函数，故得 ， ，从而可得到结论。
【详解】
设 ，
所以 =
因为对于 ，所以 ，
所以 是R上的增函数，
所以 ，
即 ， ，
整理得 和 。故答案选B。
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数的运算法则的应用，属于中档题。
13.
【解析】
【分析】
将条件代入向量夹角计算公式即可。
【详解】
设 的夹角为 ，则
= = 。
【点睛】
本题考查平面向夹角的计算，属于基础题。
14.2
【解析】
【分析】
由正弦定理，将式子中的边化为角，代入即可。
【详解】
因为
所以 ， ，
所以
= = = =2。
【点睛】
本题主要考查正弦定理的变形运用，属于基础题。
15.2x-3y+1=0
【解析】
【分析】
首先对函数求导得 ，把 代入可求 ，把 代入函数 可求 ，用点斜式方程写出切线并化简即可。
【详解】
因为f(x)= x3-f′(1)x2+x+ ，
所以
把 代入，则 ，
所以 ，
把 代入，则
所以过点(1，f(1))处曲线 的切线方程
整理得 。
【点睛】
本题考查了导数的几何意义，属于基础题。
16.(2)(3)
【解析】
【分析】
运用二倍角、辅助角公式将函数 化为 ，分别求其对称轴，对称中心，并进行图像平移，讨论三个结论即可。
【详解】
函数 可化为 ，
所以 ，
所以函数 的对称轴为 ，故命题(1)错误;
函数 的对称中心为 ，取 时，对称中心为 ，命题(2)正确;
函数 向左平移 个单位，得 = = ， 为奇函数，命题(3)正确。故答案为(2)(3)。
【点睛】
本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查三角函数的对称性、三角函数的图像平移，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题
17.(1) ;(2) ， 。
【解析】
【分析】
(1)根据等差数列通项公式，结合条件建立关于首项与公差的方程组 ，求解即可;(2)可先求出 的通项，再解出数列 通项公式，求其前n项和则运用分组求和的方法求解即可。
【详解】
(1)由题意得 ，
解得 ，
(2)
，
，
∴ 。
【点睛】
本题考查了等差数列、等比数列通项公式及分组求和法，比较基础，难度不大，关键是掌握基本公式即可。
18.(1) ;(2) 。
【解析】
【分析】
(1)运用向量的数量积计算公式代入，并对函数式进行三角恒等变换，可得 的表达式;(2)先根据图像平移得到 ，再结合图像与性质求值域。
【详解】
(1)
，
。
(2) ，
，
。
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换及三角函数的值域，属于中档题。形如 ， 的函数求值域，分两步：(1) 求出 的范围;(2)由 的范围结合正弦函数的单调性求出 ，从而可求出函数的值域。
19.(1) ;(2) 。
【解析】
【分析】
(1)根据数列的前n项和与数列的通项的关系 ，可求通项;(2)先由(1)的结论求出数列 的通项公式，再运用裂项法求其前n项和。
【详解】
(1)当 时，
∵ ①
∴ ②
①-②得 ;
即
又 ;得： ，
∴数列 是以 为首项， 2为公比的等比数列
∴
(2)∵ ， ，
∴ ，
∴ .
【点睛】
本题考查数列的前n项和与数列的通项的关系及裂项法求和，属于中档题。在运用数列的前n项和与数列的通项的关系求数列的通项时，比较容易忘记关系式 中的条件，即求出通项后，一定要验证n=1 时，通项公式是否也成立。
20.(1)函数 的极小值为 ;(2) 。
【解析】
【分析】
(1)对函数求导并求导函数的零点，讨论函数单调性，确定极小值点，并求得极值。(2)结合(1)的结果“方程 在区间 上有唯一实数解”即为 ，解不等式即可。
【详解】
(1)依题意知 的定义域为 。
，
所以函数 的极小值为 。
(2)由(1)得
所以要使方程 在区间 上有唯一实数解，
只需 ，
，
。
。
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值及讨论方程问题，属于中档题。
21.(1) ;(2) 。
【解析】
【分析】
(1)运用正弦定理将条件 中的边化为角，进行三角恒等变形，可得 ;(2)运用余弦定理，三角形的面积公式。结合条件 ，即求 。
【详解】
(1)由正弦定理得
又因为在三角形中 ，
∴ ，
可得 ，
又 ，
所以 .
∵ ，
【点睛】
本题主要考查三角形正弦定理、余弦定理和三角函数的恒等变换公式，及三角形面积。属于中档题。
22.(1)答案见解析;(2)在a<1时，存在m>1，使得对任意x∈(1，m)恒有f(x)+a>0。理由见解析。
【解析】
【分析】
(1)对函数求导，并分a≤0和a>0两种情况讨论。可求出结果;(2)结合(1)将a<1分为a≤0和 两种情况进行讨论即可。
【详解】
(1)∵f(x)=lnx﹣ax，
∴ ，
当a≤0时，f&39;(x)>0恒成立，
函数f(x)在定义域(0，+∞)递增;无减区间
当a>0时，令f&39;(x)=0，则x= ，
当x∈(0， )时，f&39;(x)>0，函数为增函数，
当x∈( ，+∞)时，f&39;(x)<0，函数为减函数。
(2)在a<1时，存在m>1，使得对任意的x∈(1，m)恒有f(x)+a>0。
理由如下：
由(1)得
当a≤0时，函数f(x)在(1，m)递增，
，
，
即f(x)+a>0。
综上可得：在a<1时，存在m>1，使得对任意x∈(1，m)恒有f(x)+a>0。
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，着重考查了转化思想，分类讨论思想，及学生的运算能力、推理能力。属于中档题。
高三数学理科第一学期期中试题【篇2】
第Ⅰ卷 选择题(共60分)
选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2.下列有关命题的说法中错误的是( )
A.若pVq为真命题，则p，q中至少有一个为真命题
B.命题：“若y=f(x)是幂函数，则y=f(x)的图象不经过第四象限”的否命题是假命题
C.命题“ n∈N*，有f(n) ∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“ n0∈N*，有f(n0)∈N *且f(n0)>n0”
D.设a，b∈R，则“a>b”是“a|a| >b|b|”的充要条件
3. 若函数 为奇函数，则 的极大值点为( )
A. B. C. D.
4.在 中，已知 于 ，则 长为( )
A. B. C. D.
5.已知向量 ， 满足 且 ，若向量 在向量 方向上的投影为 ，则 ( ) A. B. C. D.
6. 平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于 轴对称，若 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知 ，若不等式 恒成立，则 的最大值等于 ( )
A.10 B.9 C.8 D.7
8.若双曲线 ( )的一条渐近线被圆 所截得的弦长为 ,则C的离心率为( )
A.2 B. C. D.
9. 如图所示的三视图表示的几何体的体积为 ，则该几何体的外接球的表面积为( )
A.12π B.24π C.36π D.48π
10.
11.设变量 满足约束条件 的取值范围是( )
A.[2，8] B.[4，8] C.[0，8] D.[8，+∞)
12.偶函数 是定义在R是的可导函数，其导函数为 ，且 对任意的 恒有 成立，则关于 的不等式 的解集为( )
A. ( B. C. (2，+ D.
卷II(非选择题)
二、填空题(共4小题 ，每小题 5 分 ，共20分 )
13. 由 和 围成的封闭图形面积为______.
14.已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 =
15.已知数列{an}满足an+1=≤an<1，(1)若 ，则 =________.
16.在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是BC的中点，点P是正方形DCC1D1面内(包括边界)的动点，且满足∠APD=∠MPC，则三棱锥P-BCD的体积最大值是___________.
三、解答题(共 6 小题 ，17题10 分 ，18题-22题每题12分，共 60 分 )
17.已知数列 为等比数列， ， 是 和 的等差中项.
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
18.已知f(x)=Asin(ωx+&981;)( )过点 ，且当 时，函数f(x)取得最大值1.
(1)将函数f(x)的图象向右平移 个单位得到函数g(x)，求函数g(x)的表达式;
(2)在(1)的条件下，函数h(x)=f(x)+g(x)+2cos2x-1，求h(x)在 上的值域.
19.已知函数 为奇函数.
(1)判断f(x)的单调性并证明;
(2)解不等式 .
20.如图，三棱柱 中， ， ， .
(1)求证： ;
(2)若平面 平面 ，且 ，求二面角 的正弦值。
21.已知抛物线方程为 ，点A、B及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA与PB的倾斜角互补。
(1)试证明直线AB的斜率为定值;
(2)当直线AB的纵截距为m(m>0)时，求△PAB的面积的最大值。
22. 已知函数f(x)=1n(x-1)-k(x-1)+1
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围;
(3)证明： 。
高三理科数学期中检测答案及评分标准
一.选择题
1.B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.B 8.D 9.C 10.C 11.C 12.B
二.填空题
13. 14. 15. 16.
17.解：(1)设数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ， .…………………………………………1分
因为 是 和 的等差中项，所以 .……………………2分
即 ，化简得 .
因为公比 ，所以 .………………………………………………………4分
所以 ( ).…………………………………………5分
(2)因为 ，所以 .………………………………………6分
所以 ………………………8分
则 ……10分
18. 解：(1)由题意可得A=1，由函数过 ，得 范围 ， ……2分
由 ，
∵0<ω<4，∴可得：ω=2， ……4分
可得： ， ，故 …………6分
(2)
由于 ……10分故： h(x)在 上的值域为[-1，2].…………12分
19.解：(1)由已知f(-x)=-f(x)，∴
∴ ，a=-2， ……………………3分
∵ ，∴ 为单调递增函数.…………6分
(2)∵ ，
∴ ，而f(x)为奇函数，
∴ ………………7分
∵f(x)为单调递增函数，∴ ，………………8分
∴ ，∴-3≤log2x≤1， ………………10分
20.解：(1)如图 ，设 中点为 ，连接 ，又设 ,则 ，又 ， ，又 ，即 ，且 ， ， ，
在 ，由三线合一可得， 。 …………6分
(2)因为平面 平面 ,平面 平面 ，且 ，故 ，分别以 ，则 ， …………8分
故 ，设面 的法向量 ，则有 ， …………………………9分
同理得：面 得法向量 ， …………………………10分
设所求二面角为 ，
则 ， ……………………11分
故 . ………………………………12分
21. 解析：(1)证明：把P(2，4)代入 ，得h=6。…………2分
所以抛物线方程为：y-4=k(x-2)，由 ，消去y，
得 所以 ， ………………4分
因为PA和PB的倾斜角互补，所以 ，用-k代k，
得 ， ……………………………………5分
所以 = . ……………………6分
(2)设AB的方程为y=2x+m(m>0)，由 ，消去y得：
，令△=16-4(2m-12) >0，解得0
， ………………9分
点P到AB的距离d= ， ………………………………10分
所以，
= ，所以， ， …………………11分
当且仅当 ，即 时，等号成立，故△PAB面积最大值为 .……12分
22.解：(1)∵f(x)=1n(x-1)-k(x-1)+1，
∴x>1， ， …………………………1分
∵x>1，∴当k≤0时， >0，f(x)在(1，+∞)上是增函数;…………2分
当k>0时，f(x)在(1，1+ )上是增函数，在(1+ ，+∞)上为减函数.……………4分
(2)∵f(x)≤0恒成立，
∴∀x>1，ln(x-1)-k(x-1)+1≤0，
∴∀x>1，ln(x-1)≤k(x-1)-1，∴k>0. …………6分
由(1)知，f(x)max=f(1+ )=ln ≤0，解得k≥1.
故实数k的取值范围是[1，+∞). ……………………8分
(3)令k=1，则由(2)知：ln(x-1)≤x-2对x∈(1，+∞)恒成立，
即lnx≤x-1对x∈(0，+∞)恒成立. …………9分
取x=n2，则2lnn≤n2-1， …………10分
即 ，n≥2， ……………………11分
∴ ………………12分
高三数学理科第一学期期中试题【篇3】
第I卷 共60分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 ( ) B
A. B. C. D.
2.已知 ，则复数 ( )A
A. B. C. D.
3.下列四个结论, 其中正确的是( )A
①命题“ ”的否定是“ ”;
②若 是真命题，则 可能是真命题;7③“ 且 ”是“ ”的充要条件; ④当 时，幂函数 在区间 上单调递减.
A. ①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④
4.设 ，则不等式 的解集为(C)
A.
B.
C.
D.
5.若 的图象向右平移 个单位后所得的图象关于原点对称，则 可以是(B )
A.
B.
C.
D.
6. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还 升， 升， 升，1斗为10升;则下列判断正确的是( D )
A. 依次成公比为2的等比数列，且
B. 依次成公比为2的等比数列，且
C. 依次成公比为 的等比数列，且
D. 依次成公比为 的等比数列，且
7.已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
8.如图所示，正弦曲线 ，余弦函数 与两直线 ， 所围成的阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
9.函数 的大致图象是 ( A )
A B C D
10. 设 ， 为自然对数的底数，则 ， ， 的大小关系为( B )
A. B. C. D.
11.设函数 ，函数 ，若对任意的 ，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是( D )
A. B. C. D.
12.已知数列 满足 .设 ， 为数列 的前 项和.若 (常数)， ，则 的最小值是( C )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知向量 ， ，若 与 垂直，则实数 .13.
14.已知命题 ;命题 是增函数.若“ ”为假命题且“ ”为真命题，则实数 的取值范围为 . 14.
15. 如图，在 中，若 ， ， ，则 的值为 .15.-2
16. 在 中，内角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，且 ， ，若 ，则 __________.16.3
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分10分)已知函数 .
(1)求 及 的单调递增区间;(2)求 在闭区间 的最值.
17(1)f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ),则f( )= ,
2x + ，k
单调递增区间[- +k , + k ],k .
(2)由 则2x+ ，sin(2x+ ) [- ,1],所以值域为 [- ,1],
18.设 为各项不相等的等差数列 的前n项和，已知 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设 为数列{ }的前n项和，求 .
18.解：(1)设数列 的公差为d，则由题意知 解得 (舍去)或 所以 .(5分)
(2)因为 = ，
所以 = + +…+ = .(10分)
19.(本小题满分12分)
在△ 中， ， 2 ， .
(1)求 的值;
(2)设 的中点为 ,求中线 的长.
19.解：(1)因为 ，且C是三角形的内角，所以sinC= = .
所以
= .(4分)
(2) 在△ABC中，由正弦定理，得 ，所以 = ，于是CD= .在△ADC中，AC=2 ，
cosC= ，(8分)
所以由余弦定理，得AD= = ，即中线AD的长为 .(12分)
20、已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且对任意正整数 ，有 成等差数列.
(1)求证：数列 成等比数列;
(2)设 ，求数列 前 项和 .
11、解：(1)∵ 成等差数列，∴
又
∴
即
∴
∴
又∵
∴ 成等比数列.
(2)由(1)知 是以 为首项，2为公比的等比数列.
∴
又 ∴
∴
21.(本小题满分12分) 已知函数 ( 为常数).
(Ⅰ)讨论函数 的单调性;
(Ⅱ)是否存在正实数 ，使得对任意 ，都有，若存在，求出实数 的取值范围;若不存在，请说明理由;
21.(本小题满分12分) 【解析】
(Ⅰ)∵ ( 为常数)定义域为： .
(ⅰ)若 ，则 恒成立 在 上单调递增;
(ⅱ)若 ，则 .
令 ，解得 ;令 ，解得 .
在 上单调递减，在 上单调递增.
综上：当 时， 在 上单调递增;
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
(Ⅱ)满足条件的 不存在.理由如下：
若 ，由(Ⅰ)可知，函数 在 为增函数;
不妨设 ，则 ，即 ;
∴由题意： 在 上单调递减，
∴ 在 上恒成立;即 对 恒成立;
又 在 上单调递减;∴ ;故满足条件的正实数 不存在.
22.(12分)已知函数f(x)=xex-2e.
(1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;
(2)设函数g(x)=-1x-ln xx+m(m∈R)，试讨论函数f(x)与g(x)的图象在(0，+∞)上交点的个数.
21解：(1)由题意知，f′(x)=1-xex，
∴f′(0)=1，又f(0)=-2e，
故所求切线方程为y+2e=x，即x-y-2e=0.
(2)令h(x)=f(x)-g(x)=xex-2e+1x+ln xx-m(x>0)，
则h′(x)=1-xex-1x2+1-ln xx2=1-xex-ln xx2.
易知h′(1)=0，
∴当0
∴函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
∴h(x)max=h(1)=-1e+1-m.
①当-1e+1-m=0，即m=1-1e时，函数h(x)只有1个零点，
即函数f(x)与g(x)的图象在(0，+∞)上只有1个交点;
②当-1e+1-m<0，即m>1-1e时，函数h(x)没有零点，
即函数f(x)与g(x)的图象在(0，+∞)上没有交点;
③当-1e+1-m>0，即m<1-1e时，函数h(x)有2个零点，
即函数f(x)与g(x)的图象在(0，+∞)上有2个交点.
理数试题答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.B 2.A 3.A 4.C 5.B 6. D 7.A 8.D 9.D 10. B 11.D 12.C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14. 15.-2 16.3
三、解答题：共70分。
17. (1)f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ ),则f( )= ,
2x + ，k
单调递增区间[- +k , + k ],k .
(2)由 则2x+ ，sin(2x+ ) [- ,1],所以值域为 [- ,1],
18.解：(1)设数列 的公差为d，则由题意知 解得 (舍去)或 所以 .(5分)
(3)因为 = ，
所以 = + +…+ = .(10分)
19.解：(1)因为 ，且C是三角形的内角，所以sinC= = .
所以
= .(4分)
(3) 在△ABC中，由正弦定理，得 ，所以 = ，于是CD= .在△ADC中，AC=2 ，
cosC= ，(8分)
所以由余弦定理，得AD= = ，即中线AD的长为 .(12分)
20、解：(1)∵ 成等差数列，∴
又
∴
即
∴
∴
又∵
∴ 成等比数列.
(2)由(1)知 是以 为首项，2为公比的等比数列.
∴
又 ∴
∴
21.(本小题满分12分) 【解析】
(Ⅰ)∵ ( 为常数)定义域为： .
(ⅰ)若 ，则 恒成立 在 上单调递增;
(ⅱ)若 ，则 .
令 ，解得 ;令 ，解得 .
在 上单调递减，在 上单调递增.
综上：当 时， 在 上单调递增;
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
(Ⅱ)满足条件的 不存在.理由如下：
若 ，由(Ⅰ)可知，函数 在 为增函数;
不妨设 ，则 ，即 ;
∴由题意： 在 上单调递减，
∴ 在 上恒成立;即 对 恒成立;
又 在 上单调递减;∴ ;故满足条件的正实数 不存在.
22解：(1)由题意知，f′(x)=1-xex，
∴f′(0)=1，又f(0)=-2e，
故所求切线方程为y+2e=x，即x-y-2e=0.
(2)令h(x)=f(x)-g(x)=xex-2e+1x+ln xx-m(x>0)，
则h′(x)=1-xex-1x2+1-ln xx2=1-xex-ln xx2.
易知h′(1)=0，
∴当0
∴函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
∴h(x)max=h(1)=-1e+1-m.
①当-1e+1-m=0，即m=1-1e时，函数h(x)只有1个零点，
即函数f(x)与g(x)的图象在(0，+∞)上只有1个交点;
②当-1e+1-m<0，即m>1-1e时，函数h(x)没有零点，
即函数f(x)与g(x)的图象在(0，+∞)上没有交点;
③当-1e+1-m>0，即m<1-1e时，函数h(x)有2个零点，
即函数f(x)与g(x)的图象在(0，+∞)上有2个交点.