高考全国Ⅲ卷理数试题和答案

时间：2026-03-04 01:20:30 小龙课堂学习

数学的学习离不开做题，在复习的阶段更是需要多做试卷，下面是小编给大家带来的有关于高考全国卷的理数试卷介绍，希望能够帮助到大家。

高考全国Ⅲ卷理数试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为

A.3 B.2 C.1 D.0

2.设复数z满足(1+i)z=2i，则z∣=

A. B. C. D.2

3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了1月至12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份

D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

4.(+)(2-)5的展开式中33的系数为

A.-80 B.-40 C.40 D.80

5.已知双曲线C： (a>0,b>0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为

A. B. C. D.

6.设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是

A.f(x)的一个周期为−2π B.y=f(x)的图像关于直线x=对称

C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在(,π)单调递减

7.执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为

A.5 B.4 C.3 D.2

8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A. B. C. D.

9.等差数列的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为

A.-24 B.-3 C.3 D.8

10.已知椭圆C：，(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为

A. B. C. D.

11.已知函数有唯一零点，则a=

A. B. C. D.1

12.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为

A.3 B.2 C. D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若，满足约束条件，则的最小值为__________.

14.设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.

15.设函数则满足的x的取值范围是_________。

16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角;

当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角;

直线AB与a所称角的最小值为45°;

直线AB与a所称角的最小值为60°;

其中正确的是________。(填写所有正确结论的编号)

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2.

(1)求c;

(2)设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积.

18.(12分)

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶;如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值?

19.(12分)

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，ABD=∠CBD，AB=BD.WWW.ziyuanku.com

(1)证明：平面ACD平面ABC;

(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.

20.(12分)

已知抛物线C：y2=2x，过点(2,0)的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.

(1)证明：坐标原点O在圆M上;

(2)设圆M过点P(4，-2)，求直线l与圆M的方程.

21.(12分)

已知函数 =x﹣1﹣alnx.

(1)若，求a的值;

(2)设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22.选修44：坐标系与参数方程(10分)

在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程;

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosWWW.ziyuanku.comθ+sinθ)-=0，M为l3与C的交点，求M的极径.

23.选修45：不等式选讲(10分)

已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.

(1)求不等式f(x)≥1的解集;

(2)若不等式f(x)≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围.

普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题正式答案

一、选择题

1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D

7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A

二、填空题

13. -1 14. -8 15. 16. ②③

三、解答题

17.解：

(1)由已知得 tanA=

在 △ABC中，由余弦定理得

(2)有题设可得

故△ABD面积与△ACD面积的比值为

又△ABC的面积为

18.解：

(1)由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知

因此的分布列为

0.2 0.4 0.4 中·华.资*源%库 ziyuanku.com⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑

当时，

若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n

若最高气温位于区间，则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;

若最高气温低于20，则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;

因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n

当时，

若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;

若最高气温低于20，则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;

因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n

所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。

19.解：

(1)由题设可得，

又是直角三角形，所以

取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO

又由于

所以

(2)

由题设及(1)知，两两垂直，以$来&源：ziyuanku.com的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则

由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故

设是平面DAE的法向量，则

可取

设是平面AEC的法向量，则同理可得

则

所以二面角D-AE-C的余弦值为

20.解

(1)设

由可得

又=4

因此OA的斜率与OB的斜率之积为

所以OAOB

故坐标原点O在圆M上.

(2)由(1)可得

故圆心M的坐标为，圆M的半径

由于圆M过点P(4，-2)，因此,故

即

由(1)可得，

所以，解得

当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为

当时，直线l的方程为，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为

21.解：(1)的定义域为.

①若，因为，所以不满足题意;

②若，由知，当时，;当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.

由于，所以当且仅当a=1时，.

故a=1

(2)由(1)知当时，

令得，从而

故

而，所以m的最小值为3.

22.解：

(1)消去参数t得l1的普通方程

设P(x,y),由题设得，消去k得.

所以C的普通方程为

(2)C的极坐标方程为

联立得.

故，从而

代入得，所以交点M的极径为.

23.解：

(1)

当时，无解;

当时，由得，，解得

当时，由解得.

所以的解集为.

(2)由得，而

且当时，.

故m的取值范围为

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p副标题e

高考全国Ⅲ卷理数试题解析版

一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分)

1.已知集合，，则中元素的个数为()

A.3 B.2 C.1 D.0

【答案】B

【解析】表示圆上所有点的集合，表示直线上所有点的集合，

故表示两的交点，由图可知交点的个数2，即元素的个数为2，故选B

2.设复数z满足，则()

A. B. C. D.2

【答案】C

【解析】由题，，则，故选C

WWW.ziyuanku.com3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了1月至12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是()

接待游客量月增加

接待游客量逐年增加

C年的月接待游客量期大致在

D.各年至的月接待游客量相对于至，波动性更小，变化比较平稳

【答案】A

【解析】由题图可知，8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A

4.的展开式中系数为()

B. C.40 D.80

【答案】C

【解析】由二项式定理可得，原式展开中含的项为

，则的系数为40，故选C

5.知双曲(，)一条近线方程为且与椭圆焦点.的方程为(

A. B. . D.

【答案】B

【解析】双曲线的一条渐近线方程为，则

又椭圆与双曲线有公共焦点，易知，则

由解得，则双曲线的方程为，故选B

6.数则下列结论错误的是(

A.一个周期为 B.图像关于直线称

.一个零点为 D.单调递减

【答案】D

【解析】函数的图象可由向左平移个单位得到，

如图可知，在上先递减后递增，选项错误，故选

7.行右图的程序框图，为使出值1，则入的正数小值为(

D.2

【答案】D

【解析】程序运行过程如下表所示：

初始状态 0 100 1

第1次循环结束 100 2

第2次循环结束 90 1 3

此时首次满足条件，程序需在时跳出循环，即为满足条件的最小值，故选D

8.知的高为它的两个底面的圆在直径为同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(

A. . . .

【答案】B

【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径，

则圆柱体体积，故选B

9.列首项为公不为.，，成等比数列，则的和(

A. . . D.

【答案】A

【解析】为等差数列，且成等比数列，设公差为.

则，即

又，代入上式可得

又，则

，故选A

10.知()左、右顶点分别为，且以线段直径的圆与直线切，则离率为(

A. . . .

【答案】A

【解析】以为直径为圆与直线相切等于半径，

∴

又，则上式可化简为

，可得，即

，故选A

11.知函数一点，则(

A. . . .

【答案】

【解析】由条件，得

∴，即为的对称轴

由题意有唯一零点

∴的零点只能为

即

解得.

12.形，，动点以点且与切的圆上.，则最大值为(

A. B. . .

【答案】

【解析】由题意画出右图.

设与切于点连接.

以为原点为轴正半轴

为轴正半轴建立直角坐标系

则点坐标为.

，.

切于点.

⊥.

是中斜边上的高.

即的半径为.

在上.

点的轨迹方程为.

设点坐标可以设出点坐标满足的参数方程如下

而，.

∴，.

两式相加得

(其中)

当且仅当时取得最大值3.

二、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)

约束条件的最小值为________

【答案】

【解析】由题，画出可行域如图：

目标函数为，则直线截距越大，值越小.

由图可知：在处取最小值，故.

等比数列，，则________

【答案】

【解析】为等比数列，设公比为.

，

显然，，

，即，代式可得，

函数满足取值范围是________

【答案】

【解析】，，

由图象变换可画出与的图象如下：

由图可知满足的解为

16.，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形直角边在与

，都垂直，边直线旋转轴旋转，有下列结论：

直线成角时，成角;

与所成角的最小值为

④直线与所成角的最值为

其中正确的是________所有正确结论的编号)

【答案】②③

【解析】由题意知三条直线两两相互垂直画出图形如.

不妨设图中所示正方体边长为1

故，

斜边以直线为旋转轴旋转则点保持不变

点的运动轨迹是以为圆心1为半径的圆.

以为坐标原点以为轴正方向为轴正方向

为轴正方向建立空间直角坐标系.

则，

直线的方向单位向量.

点起始坐标为

直线的方向单位向量.

设点在运动过程中的坐标

其中为与的夹角.

那么在运动过程中的向量.

设与所成夹角为

则.

故③正确④错误.

设与所成夹角为

当与夹角为时即

，

∴.

，此时与夹角为.

②正确错误.

三、解答题：(共70分.第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答)

)考：共

17.(12分)

内角A对边分别为已知，.

(1)

(2)为边上一点，且求面积

【解析】)由得，

即，

，得.

余弦定理.代入，故.

)，

余弦定理.

，即为直角三角形，

则，得.

由勾股定理.

又，则，

.2分)超市计划按月购一种奶，每天进货量相同，进货成本每瓶，售价每瓶，售出的酸奶降价处理，以瓶2价格当天全部处理完.据年销售经验，每天需求量与当天最高气温(：)关.果最高气温不低于需求量为;如果最高气温位于区间求量为;如果气低于需求量为，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的分布表：

高气温数 16 36 25 7 4 以最高气温位于区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

)六月份这种酸奶一天的需量瓶)分列

(2)六月份一天销售这种酸奶的利为：元).六月这种酸奶一天的进货量瓶多少时，数学期望达到最大值?

【解析】⑴易知需求量可取

则分布列为：

⑵①当时：，此时，当时取到.

②当时：

此时，当时取到.

③当时，

此时.

④当时，易知一定小于③的情况.

综上所述：当时，取到最大值为.

9.2分)图，四面体，正三角形，直三角形..

)明：面面

(2)的平面交点若平面四面体成积相等的两部分.二的余弦值.

⑴取中点为，连接，;

为等边三角形

∴

∴,即为等腰直角三角形，

为直角又为底边中点

令，则

易得：，

由勾股定理的逆定理可得

即

又

由面面垂直的判定定理可得

⑵由题意可知

即,到平面的距离相等

即为中点

以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，设，建立空间直角坐标系，

则，，，，

易得：，，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

则，解得

，解得

若二面角为为锐角，

则

20.2分)知抛物线点)直线于，两点，圆以线段直径的圆.

)明：坐标原点圆;

)圆点)直线圆程.

【解析】显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意.

设，，

联立：得

恒大于，，

∴，即在圆上

⑵若圆过点，则

化简得解得或

当时，圆心为，

，，

半径

则圆

当时，圆心为，

，，

半径

则圆

21.知函数.

)，求值;

)为整数，且对于任意正整数，求最小值.

【解析】，

则，且

当时，，在上单调增，所以时，，不满足题意;

当时，

当时，则在上单调递减

当时，则在上单调递增

①若，在上单调递增当时矛盾

若，在上单调递减当时矛盾

若，在上单调递减，在上单调递增满足题意

综上所述

⑵ 当时即

则有当且仅当时成立

，

一方面：

即

另一方面：

当时，

，，

∴的最小值为

22.[选修4-4坐标参数方程])

直角坐标，直线方程(参数)直线参数方程为参数)与的交点为当时，轨迹为曲线

(1)写出普通方程：

原点为极点，正半为极轴极，设与C的交点，求极径

【解析】⑴将参数方程转化为一般方程

……①

……②

①②消可得：

即的轨迹方程为;

⑵将参数方程转化为一般方程

……③

联立曲线和

解得

由解得

即的极半径是.

23修4-5等式选讲])

函数

(1)求不等式解集;

不等式解集非空求值范围

【解析】⑴可等价为.由可得：

当时显然不满足题意;

当时，，解得;

当时，恒成立.综上，的解集为.

⑵不等式等价为，

令，则解集非空只需要.

而.

当时，;

当时，.

综上，，故.

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