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解三角形专项练习以及答案

时间: 欣欣2 高三数学

  一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。以下是小编为大家推荐关于高三数学的解三角形专项练习以及答案,欢迎阅读!

  解三角形专项练习以及答案

  一、选择题

  1.在△ABC中,sinA=sinB,则△ABC是(  )

  A.直角三角形B.锐角三角形

  C.钝角三角形D.等腰三角形

  答案 D

  2.在△ABC中,若acosA=bcosB=ccosC,则△ABC是(  )

  A.直角三角形B.等边三角形

  C.钝角三角形D.等腰直角三角形

  答案 B

  解析 由正弦定理知:sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC,

  ∴tanA=tanB=tanC,∴A=B=C.

  3.在△ABC中,sinA=34,a=10,则边长c的取值范围是(  )

  A.152,+∞B.(10,+∞)

  C.(0,10) D.0,403

  答案 D

  解析 ∵csinC=asinA=403,∴c=403sinC.

  ∴0

  4.在△ABC中,a=2bcosC,则这个三角形一定是(  )

  A.等腰三角形B.直角三角形

  C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

  答案 A

  解析 由a=2bcosC得,sinA=2sinBcosC,

  ∴sin(B+C)=2sin Bcos C,

  ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C,

  ∴sin(B-C)=0,∴B=C.

  5.在△ABC中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,则sin A∶sin B∶sin C等于(  )

  A.6∶5∶4 B.7∶5∶3

  C.3∶5∶7 D.4∶5∶6

  答案 B

  解析 ∵(b+c)∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6,

  ∴b+c4=c+a5=a+b6.

  令b+c4=c+a5=a+b6=k (k>0),

  则b+c=4kc+a=5ka+b=6k,解得a=72kb=52kc=32k.

  ∴sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=7∶5∶3.

  6.已知三角形面积为14,外接圆面积为π,则这个三角形的三边之积为(  )

  A.1B.2

  C.12D.4

  答案 A

  解析 设三角形外接圆半径为R,则由πR2=π,

  得R=1,由S△=12absinC=abc4R=abc4=14,∴abc=1.

  二、填空题

  7.在△ABC中,已知a=32,cosC=13,S△ABC=43,则b=________.

  答案 23

  解析 ∵cosC=13,∴sinC=223,

  ∴12absinC=43,∴b=23.

  8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=60°,a=3,b=1,则c=________.

  答案 2

  解析 由正弦定理asinA=bsinB,得3sin60°=1sinB,

  ∴sinB=12,故B=30°或150°.由a>b,

  得A>B,∴B=30°,故C=90°,

  由勾股定理得c=2.

  9.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则asinA+b2sinB+2csinC=________.

  答案 7

  解析 ∵△ABC的外接圆直径为2R=2,

  ∴asinA=bsinB=csinC=2R=2,

  ∴asinA+b2sinB+2csinC=2+1+4=7.

  10.在△ABC中,A=60°,a=63,b=12,S△ABC=183,则a+b+csinA+sinB+sinC=________,c=________.

  答案 12 6

  解析 a+b+csinA+sinB+sinC=asinA=6332=12.

  ∵S△ABC=12absinC=12×63×12sinC=183,

  ∴sinC=12,∴csinC=asinA=12,∴c=6.

  三、解答题

  11.在△ABC中,求证:a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

  证明 因为在△ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R,

  所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA

  =sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.

  所以等式成立,即a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.

  12.在△ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断△ABC的形状.

  解 设三角形外接圆半径为R,则a2tanB=b2tanA

  ⇔a2sinBcosB=b2sinAcosA

  ⇔4R2sin2AsinBcosB=4R2sin2BsinAcosA

  ⇔sinAcosA=sinBcosB

  ⇔sin2A=sin2B

  ⇔2A=2B或2A+2B=π

  ⇔A=B或A+B=π2.

  ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.

  能力提升

  13.在△ABC中,B=60°,最大边与最小边之比为(3+1)∶2,则最大角为(  )

  A.45°B.60°C.75°D.90°

  答案 C

  解析 设C为最大角,则A为最小角,则A+C=120°,

  ∴sinCsinA=sin120°-AsinA

  =sin120°cosA-cos120°sinAsinA

  =32tanA+12=3+12=32+12,

  ∴tanA=1,A=45°,C=75°.

  14.在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,若a=2,C=π4,

  cosB2=255,求△ABC的面积S.

  解 cosB=2cos2B2-1=35,

  故B为锐角,sinB=45.

  所以sinA=sin(π-B-C)=sin3π4-B=7210.

  由正弦定理得c=asinCsinA=107,

  所以S△ABC=12acsinB=12×2×107×45=87.

  1.在△ABC中,有以下结论:

  (1)A+B+C=π;

  (2)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C;

  (3)A+B2+C2=π2;

  (4)sin A+B2=cos C2,cos A+B2=sin C2,tan A+B2=1tan C2.

  2.借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化,从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.

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