七年级数学人教版练习题辅导
例题：一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。那么两人合作多少小时完成?
分析：本题是一个典型的工程类应用题
(一)、工程问题中三个基本量是：
1.工作量、工作时间、工作效率;
2.这三个基本量的关系是：
工作量=工作时间×工作效率
工作效率=工作量÷工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
3.工作总量通常看作单位“1”
(二)、相等关系：
甲单独做20小时完成的工作量+乙单独做12小时完成的工作量=完成的工作总量
解：设两人合作x小时完成此工作，依题意可得：
x/20+x/12=1
解之得：x=7.5
答：两人合作7.5小时完成。
变式一：
一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成?
分析1：此工作分两步完成的，故有相等关系：
甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量
解法一：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：
4/20+(1/20+1/12)·x=1
解之得：x=6
答：两人合作还要6小时完成。
分析2：此工作由甲、乙两人完成的，故有相等关系：
甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量
解法二：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：
(4+x)/20+x/12=1
解之得：x=6
答：两人合作还要6小时完成。
变式二：
一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成此工作的2/3?
分析;本题目在前者的基础上仅改变了完成的工作总量，故由此易建立方程：
4/20+(1/20+1/12)·x=2/3
解法：略
变式三：
一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么共要多少小时完成此工作的2/3?
分析：本题目在前者的基础上改变了未知量，弄清问题中是总的时间，要特别注意。相等关系：
甲共完成的工作量+乙完成的工作量=完成的工作总量
解：设共需x小时完成此工作，依题意可得：
x/20+(x-4)/12=2/3
解之得：x=7.5
答：共要7.5小时完成此工作的2/3。
变式四：
一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，然后乙加入合作，那么两人合作还要多少小时完成?
分析：本题目在例题的基础上改变了已知量，容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。相等关系：
甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量=完成的工作总量
解：设两人合作还需x小时完成此工作，依题意可得：
4/20+x/7.5=1
解之得：x=6
答：两人合作还要6小时完成。
变式五：
一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做7.5小时完成。甲先单独做4小时，余下的乙单独做，那么乙还要多少小时完成?
分析：本题目在例题的基础上改变了已知量，容易得到甲的工作效率、两人合作的工作效率。但还要求出乙的工作效率：1/7.5-1/20
相等关系：
甲先单独完成的工作量+ 乙单独完成的工作量=完成的工作总量
解：设乙还需x小时完成此工作，依题意可得：
4/20+(1/7.5-1/20)·x=1
解之得：x=9.6
答：乙还要9小时36分完成。
变式六：
一件工作，甲单独做20小时完成，甲、乙合做3小时完成此工作的2/5。现在甲先单独做4小时，然后乙加入合做2小时后，甲因故离开，余下的部分由乙单独完成，那么共用多少小时完成此项工作?
分析：此题涉及到前面几个题目中的变化，且完成方式更为复杂化。但明确等量关系仍然不变：
(1)此工作分三步完成的，故有：甲先单独完成的工作量+两人合作完成的工作量+乙单独完成的工作量=完成的工作总量
(2)此工作由甲乙二人完成的，故有：甲共完成的工作量+乙共完成的工作量=完成的工作总量
类比前面变式练习便可解出此题：
解法1：设共需x小时完成此工作，依题意可得：
4/20+2×(2/5÷3)+(x-4-2)(2/5÷3-1/20)=1
解之得：x=12.4
答：共要12小时24分钟完成此工作。
解法2：设共需x小时完成此工作，依题意可得：
(4+2)/20+(x-4)(2/5÷3-1/20)=1
解之得：x=12.4
答：共要12小时24分钟完成此工作。
反思：通过设计变式练习，可以脱离就题论题的模式，让学生从题海中逃匿，很轻松地就能理解此类题目，且能达到举一反三之功效。同时通过问题的循序渐进、由简到繁，让学生明确题目的演变过程，揭开了综合性较强的题目的神秘面纱，从而形成“析问题，抓本质”的习惯，增强战胜困难的信心和智慧。